Mathematik
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KOMPLEXE ZAHLENRECHNUNG
Was sind komplexe Zahlen?
Es gibt quadratische Gleichungen, die im Bereich der reellen Zahlen lösbar sind. Es gibt aber auch solche, die nicht lösbar sind, wie z.B. x2 = -1 , denn Quadrate reeller Zahlen sind nie negativ.
Die Gleichung 4x = 7 besitzt z.B. keine ganzzahlige Lösung. Durch die Erweiterung von ganzen Zahlen auf Bruchzahlen wird sie lösbar. (x = 7/4).
Aus diesem Grund liegt die Frage nahe, ob reelle Zahlen nicht auch so erweitert werden können, dass alle quadratischen Gleichungen lösbar werden.
Leonhard Euler (1707 - 1783) war einer der ersten Mathematiker, der versuchte dieses Problem zu lösen.
Er führte eine neue Zahl i ein. Diese sollte die Lösung der Gleichung x2 = -1 sein. i wird als imaginäre Einheit bezeichnet.
Damit es in der Elektrotechnik nicht zu verwechslungen kommt wurde anstatt i die Zahl j eingeführt.
Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass auch Quadrate negativer Zahlen ( j2 =-1 )berechnet werden können.
Das Problem j2 = -1 ist zu lösen.
Wie würden wir bei j2 = 4 vorgehen? Einfach die Wurzel ziehen und schon erhalten wir für j das Ergebnis j = 2
Versuchen Sie einmal die Wurzel aus -4 zu ziehen! Das hat Ihr Taschenrechner nicht so gerne.
Eine komplexe Zahl setzt sich aus zwei Teilen zusammen. Sie besteht aus einem Realteil und einem Imaginärteil.
Z = a + bj wobei a und b reele Zahlen sind und j die imaginäre Einheit ist.
j = die imaginäre Einheit
Auf die so dargestellten komplexen Zahlen lassen sich die üblichen Rechenregeln für reelle Zahlen anwenden, wobei j2 stets durch -1 ersetzt werden kann und umgekehrt.
Der so konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften als äußerst nützlich erwiesen haben.
Darstellungsarten von komplexen Zahlen
1.) Komponentenform
Die Schreibweise z = a+bj wird als Komponentenform bezeichnet
Eine komplexe Zahl z = a+bj lässt sich in der Gaußschen Zahlenebene durch einen Punkt Z darstellen. Hierzu fasst man den Real- und den Imaginärteil der komplexen Zahl als kartesische Koordinaten des Punktes Z in der x,y-Ebene auf.
Beispiel:
Z = 3 + 4j
Hier tragen wir 3 auf der Realachse (x) und 4 auf der imaginären Achse (y) auf. Daraus resultierend erhalten wir den Punkt Z und durch Verbinden mit einem Pfeil (vom 0-Punkt nach Z) den Betrag von r.
Den Betrag von r können wir nun ganz einfach nach Pythagoras mit a2 = b2 + c2 , in unserem Fall also r2 = a2 + b2 berechnen.
und wir erhalten für r den Wert 5
2.) Trigonometrische Form (Polarform)
In der trigonometrischen Form stellen wir die Beziehung zwischen r und dem Winkel phi her. Somit kann man jede komplexe Zahl anhand ihres Betrages r und des Winkels phi bestimmen.
Daraus ergibt sich für:
und
Für die Beziehung Z = a + bj ergibt sich nun
bzw.
Weiters lässt sich der Winkel phi auch über den Tangens berechnen. Die Formel lautet:
Beispiel 1:
r = 5,656
phi = 45°
Ges: Z
Z = 4 + 4j
Beispiel 2:
a = 4
b = 4
Ges: phi, r, Z
= arctan (1) = 45°
daraus folgt
r = 5,656
Z = (5,656, 45°)
3.) Eulersche Form
Die Eulersche Formel ist ein äusserst wichtiges Ergebnis der Mathematik. Sie lautet:
Daraus ergibt sich
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